Вероятность успеха в схеме бернулли

Вероятность успеха в схеме бернулли

Далее: §9. Приближенные формулы для Вверх: Глава II. Случайные события Назад: §7. Формула полной вероятности

Под схемой Бернулли понимают конечную серию $n$ повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность появления (удачи) одного исхода при одном испытании обозначают $p=P(Y)$, а непоявления (неудачи) его $P(H)= q = 1- p$. Я. Бернулли установил, что вероятность ровно $m$ успехов в серии из $n$ повторных независимых испытаний вычисляется по следующей формуле:


\begin{displaymath} P_n (m) = C_n^m \cdot p^m \cdot q^{n - m}. \end{displaymath}


То значение $m_{0}$, при котором число $P_{n}(m)$ является максимальным из множества {$P_{n}(m)$}, называется наивероятнейшим, и оно удовлетворяет условию

np - q $ \le $ m$_{0 }$$ \le $ np+ p, $(m_0 \in {\rm {\bf {\rm Z}}}).$

Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом испытании происходит одно и только одно из $k$ событий с вероятностью $p_{i}$ ( $i= 1, 2, \ldots,k)$. Вероятность появления $m_{1}$ раз первого события и $m_{2}$ - второго и $m_{k}-k$-го находится по формуле


\begin{displaymath} P_n (m_1 ,m_2 ,...,m_k ) = {\displaystyle n!\over\displaysty... ...m_k !} \cdot p^{m_1 } \cdot p^{m_2 } \cdot ... \cdot p^{m_k }. \end{displaymath}


При достаточно большой серии испытаний формула Бернулли становится трудно применимой, и в этих случаях используют приближенные формулы. Одну из них можно получить из предельной теоремы Пуассона:


\begin{displaymath} P_n (m) \approx {\displaystyle \lambda ^m\over\displaystyle m!}e^{ - \lambda }, {\text{где} } \lambda = np. \end{displaymath}


Таблица значений функции ${\displaystyle \lambda ^m\over\displaystyle m!}e^{ - \lambda }$имеется в приложении 3.

Пример 36. Система радиолокационных станций ведет наблюдение за группой объектов, состоящей из 8 единиц. Каждый объект может быть (независимо от других) потерян с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что хотя бы один из объектов будет потерян.

Решение. Пусть событие $A$ = {потерять системой радиолокационных станций хотя бы один объект}, тогда $P(A)=P_{8}$(1)$+ P_{8}$(2)+...+ P$_{8}$(8)$. $

Проще найти вероятность противоположного события - ни один объект не потерян.


\begin{displaymath} P(\bar {A}) = P_8 (0) = C_8^0 \cdot (0,1)^0 \cdot (0,9)^8 \approx 0,43 {\text{ и}} P(A) = 1 - P(\bar {A}) \approx 0,57. \end{displaymath}


Пример 37. На I курс педуниверситета поступило 1100 студентов. Найти наиболее вероятное число первокурсников ЯГПУ, родившихся в один день - в день знаний 1 сентября, и вероятность этого события.

Решение. В нашем случае $p\approx {\displaystyle \displaystyle 1\over\displaystyle \displaystyle 365},$$n=1100.$ Используем соотношение для наивероятнейшего числа $m_{0}$:


\begin{displaymath} 1100 \cdot {\displaystyle 1\over\displaystyle 365} - {\displ... ...r\displaystyle 365} + {\displaystyle 1\over\displaystyle 365}. \end{displaymath}


Учитывая, что $m_{0}$ целое число, получаем $m_{0}$= 3.

Найдем теперь P$_{1100}$(3), используя теорему Пуассона и то, что $\lambda = 1100 \cdot {\displaystyle \displaystyle 1\over\displaystyle \displaystyle 365} \approx 3$:

$P_{1100} (3) \approx {\displaystyle \displaystyle 3^3\over\displaystyle \displaystyle 3!} \cdot {\text е}^{ - 3} \approx 0,22$(см. таблицу приложения 3).

Пример 38. Сколько раз придется бросать игральную кость, чтобы наивероятнейшее число появления шестерки было бы 10?

Решение. По условию задачи имеем наивероятнейшее число $m_{0}$= 10 и вероятность выпадения шестерки при одном подбрасывании игральной кости $p= {\displaystyle \displaystyle 1\over\displaystyle \displaystyle 6},$тогда $n \cdot {\displaystyle \displaystyle 1\over\displaystyle \displaystyle 6} - {\d... ...aystyle 6} + {\displaystyle \displaystyle 1\over\displaystyle \displaystyle 6}.$Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:


\begin{displaymath} \left\{ {\begin{array}{l} n \cdot {\displaystyle \displayst... ... \ge 10 \ \end{array}} \right.\qquad\qquad 59 \le n \le 65. \end{displaymath}


Пример 39. В Ярославле 50% школьников изучают английский язык, 30% - немецкий и 20% - французский. Какова вероятность того, что из девяти слушателей подготовительного отделения физмата четверо изучали в школе английский язык, трое - немецкий и двое - французский?

Решение. По условию задачи $n$ = 9, $m_{1}$ = 4, $p_{1}$ = 0,5, $m_{2}$ = 3, $p_{2}$ = 0,3, $m_{3}$ = 2, $p_{3}$ = 0,2 и


\begin{displaymath} P_9 (4,3,2) = {\displaystyle 9!\over\displaystyle 4! \cdot 3! \cdot 2!}(0,5)^4 \cdot (0,3)^3 \cdot (0,2)^2 \approx 0,0085. \end{displaymath}


Пример 40 (задача С. Пепайса). Пепайс предложил Ньютону следующую задачу. Какое из событий более вероятно:

$A$ = {появление по крайней мере одной шестерки при подбрасывании 6 костей},

$B$ = { появление хотя бы двух шестерок при подбрасывании 12 костей} и

$C$ = {появление не менее трех шестерок при бросании 18 костей}?

Решение. Проще находить, а затем сравнивать вероятности противоположных событий. Воспользуемся теоремой Пуассона для нахождения $P(\bar {A}),$$P(\bar {B})$ и $P(\bar {C}).$


\begin{displaymath} P(\bar {A}) = P_6 (0) \approx {\displaystyle \lambda ^0\over... ...a = np = 6 \cdot {\displaystyle 1\over\displaystyle 6} = {1; } \end{displaymath}



\begin{displaymath} P(\bar {B}) = P_{12} (0) + P_{12} (1) \approx {\displaystyle... ... \lambda = 12 \cdot {\displaystyle 1\over\displaystyle 6} = 2; \end{displaymath}



\begin{displaymath} P(\bar {C}) = P_{18} (0) + P_{18} (1) + P_{18} (2) \approx {... ... \lambda = 18 \cdot {\displaystyle 1\over\displaystyle 6} = 3. \end{displaymath}


Отсюда $P(\bar {A}) < P(\bar {B}) < P(\bar {C})$, или - P(A) < 1 - P(B) < 1 - P(C)$, т.е.

$P(A) > P(B) > P(C)$.

Вопросы для самоконтроля

Какие повторные испытания называются независимыми? Примеры. Что называют схемой Бернулли? Сколько ветвей содержит дерево исходов при четырех испытаниях схемы Бернулли? Какие способы получения формулы Бернулли вы знаете? В чем заключаются обобщения схемы Бернулли? Какое число называют наивероятнейшим? Как его найти? Сколько существует наивероятнейших чисел? В каком случае наивероятнейшее число равно нулю? В чем смысл теоремы Пуассона?

Задачи

I 71. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника в теннис два сета из четырех или три из шести?
  72. Пассажиру, путешествующему в купейном вагоне, удобно, когда все его попутчики - лица того же пола, что и он. Сколько процентов таких пассажиров случайно попадают в удобные условия?
  73. В Ярославской области 60% школьников изучают английский язык, 30% - немецкий и 10% - французский. Какова вероятность того, что из десяти слушателей подготовительного отделения физмата пятеро изучали в школе английский язык, трое - немецкий и двое - французский?
  74. В семье 4 детей. Найдите вероятность того, что среди них поровну мальчиков и девочек.
  75. Найдите наибольшее вероятное число выпадания шести очков при 100 подбрасываниях игральной кости.
  76. Среди облигаций займа 10% выигравших. Найдите вероятность того, что из четырех взятых облигаций: а) все облигации выиграют; б) хотя бы одна облигация выиграет; в) выиграет ровно одна облигация.
II 77. Чему равна вероятность наступления события в каждом из 99 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступления события в этих испытаниях равно 60?
  78. (Задача де Мере). Сколько раз надо бросить пару игральных костей, чтобы с вероятностью, не меньшей ${\displaystyle \displaystyle 1\over\displaystyle \displaystyle 2},$ можно было утверждать, что хотя бы раз появится 12 очков?
III 79. Найдите вероятностным способом частичную сумму убывающей геометрической прогрессии.
  80. Контрольное задание состоит из десяти вопросов, предусматривающих ответы "да" и "нет". Подсчитать вероятность того, что студент, давший 8 верных ответов, знает 8 вопросов, если известно, что 10% студентов знают 6 вопросов, 20% студентов - 7 вопросов, 30% - 8 вопросов, а остальные знают более 8 вопросов.

Далее: §9. Приближенные формулы для Вверх: Глава II. Случайные события Назад: §7. Формула полной вероятности


ЯГПУ, Центр информационных технологий обучения
2006-03-04